Касательная к гиперболе. Зеркальное свойство гиперболы.

Опубликовано: 9 июля 2009.
Рубрика: Гипербола.

п.11. Касательная к гиперболе.

Теорема. Пусть  – произвольная точка гиперболы

                                   .

Тогда уравнение касательной к этой гиперболе

в точке   имеет вид:

                                 .

   Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда точка касания лежит в верхней координатной полуплоскости: . Уравнение гиперболы в верхней полуплоскости имеет вид:

                             .

Воспользуемся уравнением касательной к графику функции  в точке :

                          ,

где  – значение производной данной функции в точке . Гиперболу в верхней полуплоскости можно рассматривать как график функции. Найдем ее производную и ее значение в точке касания:

                          ,

. Здесь мы воспользовались тем, что точка касания  является точкой гиперболы и поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению гиперболы, т.е.

                             .

Подставляем найденное значение производной в уравнение касательной:

                      ,

откуда получаем:

                     

                       .

Отсюда следует:

                   .

Разделим это равенство на :

                            .

Осталось заметить, что , т.к. точка  принадлежит гиперболе и ее координаты удовлетворяют ее уравнению.

   Аналогично доказывается уравнение касательной в точке касания, лежащей в нижней координатной полуплоскости.

   И, наконец, легко убеждаемся, что уравнение касательной в точках , :

 или , и  или .

Теорема доказана.

п.12. Зеркальное свойство гиперболы.

Теорема. Касательная к гиперболе является биссектрисой угла, образованного фокальными радиусами точки касания.

                                           рис.10.

   Доказательство. Пусть  – точка касания, ,  – ее фокальные радиусы. Опустим из фокусов перпендикуляры на касательную и докажем подобие треугольников  и . Так как треугольники прямоугольные, то для этого достаточно доказать, что

                                    .                                        (8)

Катеты  и  будут в этих подобных треугольниках сходственными сторонами, против которых лежат равные углы, т.е.

                            ,

что и является утверждением теоремы.

   Итак, докажем (8).

Уравнение касательной к гиперболе в точке  имеет вид

                                ,

откуда, по формуле расстояния от точки до прямой на плоскости, получаем

       ,

где мы воспользовались равенством , которое мы получили при выводе канонического уравнения гиперболы.

   Аналогично находим

                              ,

откуда и следует равенство (8).

Теорема доказана.

Замечание. Доказанную теорему можно сформулировать в виде зеркального свойства гиперболы.

   Луч света, выпущенный из фокуса гиперболы, после отражения от зеркала гиперболы, кажется наблюдателю идущим из другого фокуса гиперболы.

twitter.com facebook.com vkontakte.ru odnoklassniki.ru mail.ru ya.ru blogger.com liveinternet.ru livejournal.ru google.com yandex.ru del.icio.us

Оставьте комментарий!

Яндекс.Метрика