п.11. Касательная к гиперболе.

Теорема. Пусть  – произвольная точка гиперболы

                                   .

Тогда уравнение касательной к этой гиперболе

в точке   имеет вид:

                                 .

   Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда точка касания лежит в верхней координатной полуплоскости: . Уравнение гиперболы в верхней полуплоскости имеет вид:

                             .

Воспользуемся уравнением касательной к графику функции  в точке :

                          ,

где  – значение производной данной функции в точке . Гиперболу в верхней полуплоскости можно рассматривать как график функции. Найдем ее производную и ее значение в точке касания:

                          ,

. Здесь мы воспользовались тем, что точка касания  является точкой гиперболы и поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению гиперболы, т.е.

                             .

Подставляем найденное значение производной в уравнение касательной:

                      ,

откуда получаем:

                     

                       .

Отсюда следует:

                   .

Разделим это равенство на :

                            .

Осталось заметить, что , т.к. точка  принадлежит гиперболе и ее координаты удовлетворяют ее уравнению.

   Аналогично доказывается уравнение касательной в точке касания, лежащей в нижней координатной полуплоскости.

   И, наконец, легко убеждаемся, что уравнение касательной в точках , :

 или , и  или .

Теорема доказана.

п.12. Зеркальное свойство гиперболы.

Теорема. Касательная к гиперболе является биссектрисой угла, образованного фокальными радиусами точки касания.

                                           рис.10.

   Доказательство. Пусть  – точка касания, ,  – ее фокальные радиусы. Опустим из фокусов перпендикуляры на касательную и докажем подобие треугольников  и . Так как треугольники прямоугольные, то для этого достаточно доказать, что

                                    .                                        (8)

Катеты  и  будут в этих подобных треугольниках сходственными сторонами, против которых лежат равные углы, т.е.

                            ,

что и является утверждением теоремы.

   Итак, докажем (8).

Уравнение касательной к гиперболе в точке  имеет вид

                                ,

откуда, по формуле расстояния от точки до прямой на плоскости, получаем

       ,

где мы воспользовались равенством , которое мы получили при выводе канонического уравнения гиперболы.

   Аналогично находим

                              ,

откуда и следует равенство (8).

Теорема доказана.

Замечание. Доказанную теорему можно сформулировать в виде зеркального свойства гиперболы.

   Луч света, выпущенный из фокуса гиперболы, после отражения от зеркала гиперболы, кажется наблюдателю идущим из другого фокуса гиперболы.