Касательная к гиперболе. Зеркальное свойство гиперболы.
п.11. Касательная к гиперболе.
Теорема. Пусть – произвольная точка гиперболы
.
Тогда уравнение касательной к этой гиперболе
в точке имеет вид:
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда точка касания лежит в верхней координатной полуплоскости: . Уравнение гиперболы в верхней полуплоскости имеет вид:
.
Воспользуемся уравнением касательной к графику функции в точке
:
,
где – значение производной данной функции в точке
. Гиперболу в верхней полуплоскости можно рассматривать как график функции. Найдем ее производную и ее значение в точке касания:
,
. Здесь мы воспользовались тем, что точка касания
является точкой гиперболы и поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению гиперболы, т.е.
.
Подставляем найденное значение производной в уравнение касательной:
,
откуда получаем:
.
Отсюда следует:
.
Разделим это равенство на :
.
Осталось заметить, что , т.к. точка
принадлежит гиперболе и ее координаты удовлетворяют ее уравнению.
Аналогично доказывается уравнение касательной в точке касания, лежащей в нижней координатной полуплоскости.
И, наконец, легко убеждаемся, что уравнение касательной в точках ,
:
или
, и
или
.
Теорема доказана.
п.12. Зеркальное свойство гиперболы.
Теорема. Касательная к гиперболе является биссектрисой угла, образованного фокальными радиусами точки касания.
рис.10.
Доказательство. Пусть – точка касания,
,
– ее фокальные радиусы. Опустим из фокусов перпендикуляры на касательную и докажем подобие треугольников
и
. Так как треугольники прямоугольные, то для этого достаточно доказать, что
. (8)
Катеты и
будут в этих подобных треугольниках сходственными сторонами, против которых лежат равные углы, т.е.
,
что и является утверждением теоремы.
Итак, докажем (8).
Уравнение касательной к гиперболе в точке имеет вид
,
откуда, по формуле расстояния от точки до прямой на плоскости, получаем
,
где мы воспользовались равенством , которое мы получили при выводе канонического уравнения гиперболы.
Аналогично находим
,
откуда и следует равенство (8).
Теорема доказана.
Замечание. Доказанную теорему можно сформулировать в виде зеркального свойства гиперболы.
Луч света, выпущенный из фокуса гиперболы, после отражения от зеркала гиперболы, кажется наблюдателю идущим из другого фокуса гиперболы.
Оставьте комментарий!