п.5. Касательная к эллипсу.

Теорема. Пусть  – произвольная точка эллипса

                                   .

Тогда уравнение касательной к этому эллипсу в точке   имеет вид:

                                 .                                (8)

   Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда точка касания лежит в первой или второй четверти координатной плоскости: . Уравнение эллипса в верхней полуплоскости имеет вид:

                             .                                          (9)

Воспользуемся уравнением касательной к графику функции  в точке :

                          ,                             (10)

где  – значение производной данной функции в точке . Эллипс в первой четверти можно рассматривать как график функции (8). Найдем ее производную и ее значение в точке касания:

                          ,

. Здесь мы воспользовались тем, что точка касания  является точкой эллипса и поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению эллипса (9), т.е.

                             .

Подставляем найденное значение производной в уравнение касательной (10):

                      ,

откуда получаем:

                     

                       .

Отсюда следует:

                   .

Разделим это равенство на :

                            .

Осталось заметить, что , т.к. точка  принадлежит эллипсу и ее координаты удовлетворяют его уравнению.

   Аналогично доказывается уравнение касательной (8) в точке касания, лежащей в третьей или четвертой четверти координатной плоскости.

   И, наконец, легко убеждаемся, что уравнение (8) дает уравнение касательной в точках , :

 или , и  или .

Теорема доказана.