Каноническое уравнение гиперболы

Опубликовано: 4 июля 2009.
Рубрика: Гипербола.

п.1. Основные определения.

Определение.

Гиперболой называется ГМТ плоскости модуль разности расстояний которых

до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть

величина постоянная.

                     

                                         рис.1.

Определение. Расстояние от произвольной точки М плоскости до фокуса гиперболы называется фокальным радиусом точки М.

Обозначения:  – фокусы гиперболы,  – фокальные радиусы точки М.

По определению гиперболы, точка М является точкой гиперболы тогда и только тогда, когда  – постоянная величина. Эту постоянную принято обозначать 2а:

                                   .                                       (1)

Заметим, что .

По

определению гиперболы, его фокусы есть фиксированные точки, поэтому

расстояние между ними есть также величина постоянная для данной

гиперболы.

Определение. Расстояние между фокусами гиперболы называется фокусным расстоянием.

Обозначение: .

Из треугольника  следует, что , т.е.

                                              .

Обозначим через b число равное , т.е.

                                                .                        (2)

Определение. Отношение

                                                                       (3)

называется эксцентриситетом гиперболы.

   Введем на данной плоскости систему координат, которую мы будем называть канонической для гиперболы.

Определение. Ось, на которой лежат фокусы гиперболы, называется фокальной осью или действительной осью гиперболы.

Построим

каноническую для гиперболы ПДСК, см. рис.2. В качестве оси абсцисс

выбираем фокальную ось, ось ординат проводим через середину отрезка  перпендикулярно фокальной оси. Тогда фокусы имеют координаты , .

        

                                          рис.2.

п.2. Каноническое уравнение гиперболы.

Теорема. В канонической для гиперболы системе координат уравнение гиперболы имеет вид:

                                   .                                     (4)

  

Доказательство. Доказательство проведем в два этапа. На первом этапе мы

докажем, что координаты любой точки, лежащей на гиперболе удовлетворяют

уравнению (4). На втором этапе мы докажем, что любое решение уравнения

(4) дает координаты точки, лежащей на гиперболе. Отсюда будет

следовать, что уравнению (4) удовлетворяют координаты тех и только тех

точек координатной плоскости, которые лежат на гиперболе. Отсюда и из

определения уравнения кривой будет следовать, что уравнение (4)

является уравнением гиперболы.

1) Пусть точка М(х, у) является точкой гиперболы, т.е. модуль разности ее фокальных радиусов равен 2а:

                    или

Воспользуемся

формулой расстояния между двумя точками на координатной плоскости и

найдем по этой формуле фокальные радиусы данной точки М:

, , откуда получаем:

                 .

Перенесем один корень в правую часть равенства и возведем в квадрат:

.

Сокращая, получаем:

                     .

Приводим подобные, сокращаем на 4 и уединяем радикал:

                      .

Возводим в квадрат

               .

Раскрываем скобки и сокращаем на :

                  ,

откуда получаем:

                .

Используя равенство (2), получаем:

                                .

Разделив последнее равенство на , получаем равенство (4), ч.т.д.

2)

Пусть теперь пара чисел (х, у) удовлетворяет уравнению (4) и пусть М(х,

у) – соответствующая точка на координатной плоскости Оху.

   Тогда из (4) следует:

                               .

Подставляем это равенство в выражение для фокального радиуса точки М:

.

Здесь мы воспользовались равенством (2) и (3).

   Таким образом,

                                .

 Аналогично,

                                .

   Теперь заметим, что из равенства (4) следует, что

 или . Умножим неравенство

                                       

на :

                                 ,

                          .

Получаем:                             

               или .

Отсюда следует, что числа х,  и  имеют одинаковые знаки, т.е. при   и ,

а при   и , а значит

 и .

, т.е. , что означает принадлежность точки М(х, у) гиперболе, ч.т.д.

Теорема доказана.

Определение. Уравнение (4) называется каноническим уравнением гиперболы.

Определение. Канонические для гиперболы оси координат называются главными осями гиперболы.

Определение. Начало канонической для гиперболы системы координат называется центром гиперболы.

twitter.com facebook.com vkontakte.ru odnoklassniki.ru mail.ru ya.ru blogger.com liveinternet.ru livejournal.ru google.com yandex.ru del.icio.us

Оставьте комментарий!

Яндекс.Метрика