Геометрический центр тяжести

Опубликовано: 1 мая 2009.

п.5. ГЦТ системы из трех и более  материальных точек.

Пусть А, В, С – система из трех материальных точек с массами ,  и  соответственно. Заменим в этой системе две материальные точки, например, А и В материальной точкой D с массой , которая является их ГЦТ. Координаты точки D можно найти по формулам (15) и (16). Теперь у нас осталась система из двух материальных точек D и С с массами  и  соответственно. Обозначим через F их ГЦТ. Координату точки F опять можно найти по формулам (15) и (16), зная координаты точек D и С. Точка F называется ГЦТ системы из трех материальных точек А, В и С.

                     

                                         рис.5.

   Вообще ГЦТ системы из n () материальных точек определяется индукцией по их количеству.

Определение. ГЦТ системы из n () материальных точек  с массами  называется ГЦТ системы из двух материальных точек: С и  с массами  и  соответственно, где С – ГЦТ системы из материальных точек .

Теорема. (О ГЦТ системы из n материальных точек.)

Пусть  – система из n () материальных точек с массами  соответственно и С является их ГЦТ. Тогда для любой точки О верно равенство:

.                        (17)

Доказательство проводится методом математической индукции и предоставляется читателю.

   Также, как и в случае двух материальных точек из формулы (17) получаются следующие формулы.

Следствие. (О ГЦТ системы из n материальных точек.)

Пусть  – система из n () материальных точек с массами  соответственно и С является их ГЦТ. Тогда

,                                  (18)

,                                   (19)

.                                    (20)

п.6. ГЦТ треугольника.

   Пусть АВС треугольник, который мы будем рассматривать как треугольную пластинку, выполненную из однородного материала, толщиной которой мы пренебрежем. Известно, что центром тяжести такой пластинки является точка пересечения медиан.

   Рассмотрим теперь систему из трех материальных точек А, В и С с равными массами, сумма которых равна массе треугольника, т.е.

                           ,                             (21)

 где М – масса треугольника АВС.

   Из определения ГЦТ системы из двух материальных точек следует, что в данном случае ГЦТ материальных точек А и В равной массы лежит на середине отрезка АВ, которую мы обозначим буквой D. Действительно, по формуле (13) имеем:  и , т.е. D – середина АВ. Полагаем далее, что .

                      

                                             рис.6

   Пусть F – ГЦТ системы из двух материальных точек D и С. Тогда по формуле (13): , откуда следует, что , т.е. F является точкой пересечения медиан.

   С другой стороны, применяя формулы (18) – (20), получаем:

, ,                        (22)

.                                                           (23)

Определение. Точка пересечения медиан треугольника называется ГЦТ этого треугольника.

   Заметим, что точное определение ГЦТ геометрических фигур будет дано в курсе математического анализа при изучении кратных интегралов.

   Таким образом мы доказали теорему.

Теорема. ГЦТ из трех материальных точек с равными массами совпадает с ГЦТ треугольника с вершинами в данных точках.

   Как следствие, мы получили формулы (22), (23) для вычисления координат точки пересечения медиан треугольника, по известным координатам его вершин.

twitter.com facebook.com vkontakte.ru odnoklassniki.ru mail.ru ya.ru blogger.com liveinternet.ru livejournal.ru google.com yandex.ru del.icio.us

Оставьте комментарий!

Яндекс.Метрика