п.1. Функция расстояния.

   Буквой L будем обозначать прямую, буквой Р – плоскость, S – пространство. Полагаем, что прямая, плоскость и пространство состоит из точек, т.е. L, P и S являются множествами, элементами которых являются точки.

   Что есть точка, прямая, плоскость или пространство, никто не знает. В геометрии эти понятия вместе с их свойствами вводятся с помощью аксиом. Мы можем только строить на чертеже модели этих понятий, чтобы получить о них какое-то геометрическое представление. В дальнейшем мы полагаем, что выполняются все аксиомы элементарной геометрии, которая изучается в средней школе.

   Мы также будем полагать, что нам известно расстояние между любыми двумя точками пространства.   Обозначение. Расстояние между двумя точками А и В мы будем обозначать  или .

   Кроме того, мы считаем известным свойства расстояния как функции двух аргументов:

1. Свойство неотрицательности:

             и .

2. Свойство симметричности:

           .

3. Неравенство треугольника:

                ,

   причем равенство выполняется лишь в том случае, когда

   точка у лежит на отрезке прямой хz или zx.

п.2. Определение вектора, как направленного отрезка.

Определение. Вектором, как направленным отрезком, называется упорядоченная пара точек (А, В) и обозначается . Точка А называется началом вектора , точка В называется концом вектора .

Геометрическое изображение вектора.

Вектор изображается отрезком прямой, соединяющим точки А и В и стрелкой в точке В:

                         АВ

Определение. Длиной или модулем вектора  называется длина отрезка АВ, т.е. расстояние между точками А и В.

   Модуль вектора  обычно обозначается . Таким образом, по определению .

   Множество всех векторов, как направленных отрезков в пространстве точек S, будем обозначать буквой .

   Замечание. Через любые две точки можно провести единственную прямую. Проведем прямую L через начало А и конец В вектора . Тогда все точки отрезка АВ будут являться точками прямой L. Мы будем говорить, что вектор  лежит на прямой L.

Обозначение. Обозначим через  множество всех векторов, лежащих на прямой L или на любой другой прямой, параллельной прямой L.

Коллинеарные векторы.

Определение. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной или на параллельных прямых.

Обозначение. Если векторы  и  коллинеарные, то это обозначается так: .