п.2. Физический смысл скалярного произведения векторов. Работа постоянной силы.

   Пусть материальная точка перемещается под действием постоянной силы  вдоль вектора перемещения .

                   

                                   рис.1.

   На рисунке 1 сила  разложена на две ортогональные составляющие  и , причем, из физики нам известно, что работа при перемещении материальной точки вдоль вектора  создается составляющей  и равна .

   С другой стороны, , откуда получаем:

                           .

п.3. Векторное произведение векторов.

Определение. Векторным произведением вектора  на вектор  называется третий вектор , который удовлетворяет следующим трем условиям:

1)  и ;

2) тройка векторов  является правоориентированной;

3) .

              

                                        рис.2.

Обозначение: .

   Из определения следует, что, если векторы ,  и  отложить от одной точки, то

1) вектор  перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы  и ;

2) кратчайший поворот вектора  к вектору  происходит против часовой стрелки, если смотреть "сверху", т.е. со стороны вектора ;

3) длина вектора  численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах  и , как на его сторонах.

Теорема. (Свойства векторного произведения.)

1). Антикоммутативность:

                   , .

2). Условие коллинеарности векторов:

                      .

3). Модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах  и , как на его сторонах.

   Доказательство. 1) Пусть . Рассмотрим вектор . Этот вектор удовлетворяет всем трем условиям определения векторного произведения вектора  на вектор .

   Действительно, т.к.  и , то и  и . Далее, тройка векторов  является правоориентированной, т.е. кратчайший поворот от вектора  к вектору  происходит против часовой стрелки, если смотреть на плоскость, в которой лежат векторы  и  "снизу", т.е. со стороны вектора .

   И, наконец, , ч.т.д.

2) Если один из векторов или оба равны нулю, то они коллинеарные и их векторное произведение равно нулевому вектору, тут все очевидно. Пусть векторы  и  ненулевые. Тогда  или , а это в свою очередь равносильно тому, что , ч.т.д.

3) Следует из формулы площади параллелограмма.

Теорема доказана.