п.8. Директрисы гиперболы.

Определение. Директрисами гиперболы называются две прямые, уравнения которых в канонической для гиперболы системе координат имеют вид

                                      .

Так как , то .

Обозначение. Расстояние между директрисами обозначается 2d и равно

                                .

                                             рис.8.

Теорема. Для любой точки гиперболы отношение ее фокального радиуса к расстоянию до соответствующей директрисы есть величина постоянная равная эксцентриситету:

                                           .                             (7)

   Доказательство. При выводе канонического уравнения гиперболы мы получили формулы для вычисления фокальных радиусов точки гиперболы с координатами М(х, у):

                       , ,

где числа х,  и  имеют одинаковые знаки.

   Из рисунка 8 мы видим, что при

                                , ,

, ,

откуда и следуют равенства (7). Аналогично доказываются формулы (7) и при .

Теорема доказана.

п.9. Второе определение гиперболы.

Теорема из п.7. может служить определением гиперболы.

Определение. Гиперболой называется ГМТ плоскости, для которых отношение расстояния до фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, к расстоянию до фиксированной прямой, называемой директрисой, есть величина постоянная больше единицы и называемая его эксцентриситетом:

                                           .

В этом случае, первое определение гиперболы является теоремой, которую необходимо доказывать.

п.10. Фокальный параметр гиперболы.

Определение. Фокальным параметром гиперболы называется длина перпендикуляра, восстановленного в его фокусе до пересечения с гиперболой.

Фокальный параметр принято обозначать буквой р.

                                            рис.9.

Теорема. Фокальный параметр эллипса равен

                                         .

   Доказательство. Так как точка М(–с; р) является точкой гиперболы , то ее координаты удовлетворяют его уравнению:

                                 .

Отсюда находим

,

откуда и следует утверждение теоремы.

Теорема доказана.