Директрисы гиперболы. Второе определение гиперболы. Фокальный параметр гиперболы.
п.8. Директрисы гиперболы.
Определение. Директрисами гиперболы называются две прямые, уравнения которых в канонической для гиперболы системе координат имеют вид
.
Обозначение. Расстояние между директрисами обозначается 2d и равно
.
рис.8.
Теорема. Для любой точки гиперболы отношение ее фокального радиуса к расстоянию до соответствующей директрисы есть величина постоянная равная эксцентриситету:
. (7)
Доказательство. При выводе канонического уравнения гиперболы мы получили формулы для вычисления фокальных радиусов точки гиперболы с координатами М(х, у):
,
,
где числа х, и
имеют одинаковые знаки.
Из рисунка 8 мы видим, что при
,
,
,
,
откуда и следуют равенства (7). Аналогично доказываются формулы (7) и при .
Теорема доказана.
п.9. Второе определение гиперболы.
Теорема из п.7. может служить определением гиперболы.
Определение. Гиперболой называется ГМТ плоскости, для которых отношение расстояния до фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, к расстоянию до фиксированной прямой, называемой директрисой, есть величина постоянная больше единицы и называемая его эксцентриситетом:
.
В этом случае, первое определение гиперболы является теоремой, которую необходимо доказывать.
п.10. Фокальный параметр гиперболы.
Определение. Фокальным параметром гиперболы называется длина перпендикуляра, восстановленного в его фокусе до пересечения с гиперболой.
Фокальный параметр принято обозначать буквой р.
рис.9.
Теорема. Фокальный параметр эллипса равен
.
Доказательство. Так как точка М(–с; р) является точкой гиперболы , то ее координаты удовлетворяют его уравнению:
.
Отсюда находим
,
откуда и следует утверждение теоремы.
Теорема доказана.
Оставьте комментарий!