Директрисы эллипса

Опубликовано: 3 июля 2009.
Рубрика: Эллипс.

п.7. Директрисы эллипса.

Определение. Директрисами эллипса называются две прямые, которые в канонической для эллипса системе координат имеют уравнения

                           или .                             (13)

                                          рис.8.

Теорема. Пусть М – произвольная точка эллипса, ,  – ее фокальные радиусы,  – расстояние от точки М до левой директрисы,  – до правой. Тогда

                                     ,                                 (14)

где  – эксцентриситет эллипса.

   Доказательство.

                                             рис.9.

Пусть М(х, у) – координаты произвольной точки эллипса. Тогда

        , ,

откуда и следуют равенства (14).

Теорема доказана.

п.8. Фокальный параметр эллипса.

Определение. Фокальным параметром эллипса называется длина перпендикуляра, восстановленного в его фокусе до пересечения с эллипсом.

Фокальный параметр принято обозначать буквой р.

                                            рис.9.

Из определения следует, что фокальный параметр

                                         .

Теорема. Фокальный параметр эллипса равен

                                         .                                     (15)

   Доказательство. Так как точка N(–с; р) явяляется точкой эллипса , то ее координаты удовлетворяют его уравнению:

                                 .

Отсюда находим

,

откуда и следует (15).

Теорема доказана.

п.9. Второе определение эллипса.

Теорема из п.7. может служить определением эллипса.

Определение. Эллипсом называется ГМТ для которых отношение расстояния до фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, к расстоянию до фиксированной прямой, называемой директрисой, есть величина постоянная меньше единицы и называемая его эксцентриситетом:

                                           .

         

                                            рис.10.

twitter.com facebook.com vkontakte.ru odnoklassniki.ru mail.ru ya.ru blogger.com liveinternet.ru livejournal.ru google.com yandex.ru del.icio.us

Оставьте комментарий!

Яндекс.Метрика