Директрисы эллипса
п.7. Директрисы эллипса.
Определение. Директрисами эллипса называются две прямые, которые в канонической для эллипса системе координат имеют уравнения
или
. (13)
Теорема. Пусть М – произвольная точка эллипса, ,
– ее фокальные радиусы,
– расстояние от точки М до левой директрисы,
– до правой. Тогда
, (14)
где – эксцентриситет эллипса.
Доказательство.
рис.9.
Пусть М(х, у) – координаты произвольной точки эллипса. Тогда
,
,
откуда и следуют равенства (14).
Теорема доказана.
п.8. Фокальный параметр эллипса.
Определение. Фокальным параметром эллипса называется длина перпендикуляра, восстановленного в его фокусе до пересечения с эллипсом.
Фокальный параметр принято обозначать буквой р.
рис.9.
Из определения следует, что фокальный параметр
.
Теорема. Фокальный параметр эллипса равен
. (15)
Доказательство. Так как точка N(–с; р) явяляется точкой эллипса , то ее координаты удовлетворяют его уравнению:
.
Отсюда находим
,
откуда и следует (15).
Теорема доказана.
п.9. Второе определение эллипса.
Теорема из п.7. может служить определением эллипса.
Определение. Эллипсом называется ГМТ для которых отношение расстояния до фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, к расстоянию до фиксированной прямой, называемой директрисой, есть величина постоянная меньше единицы и называемая его эксцентриситетом:
.
рис.10.
Оставьте комментарий!