п.3. Деление отрезка в данном отношении.

Теорема. (О делении точки в данном отношении.)

Пусть точка С делит отрезок АВ в отношении , считая от точки А и О – произвольная точка. Тогда

                        .                                        (8)

Доказательство. По определению . По правилу треугольника сложения векторов имеем: , . Подставляя в равенство , получаем: , откуда и следует (8).

Теорема доказана.

Следствие 1. (О координатах точки, делящей отрезок.) Пусть ,  и  – три произвольные точки пространства, лежащие на одной прямой и точка С делит отрезок АВ в отношении , считая от точки А. Тогда:

1), , .   (9)

2) ,                    (10)

   Доказательство. Пусть в равенстве (8), точка О(0; 0; 0) является началом координат. Тогда векторы  и  являются радиус-векторами точек А, В и С соответственно и ,  и .

   Теперь,  в соответствии с теоремой о действиях с векторами в координатной форме, равенства (9) сразу же получаются из равенства (8), а каждое из равенств (10) следуют из равенств (9) после очевидных алгебраических преобразований.

Следствие доказано.

Следствие 2. Если точка С есть середина отрезка АВ, где ,  и , то , , .               (11)

   Доказательство очевидно, т.к. в этом случае .

   Аналогичные формулы имеют место и для случая координатной плоскости.

п.4. Геометрический центр тяжести системы из двух материальных точек.

   Рассмотрим модель рычажных весов, находящихся в равновесии.

           

                                           рис.4.

   Здесь обозначено: АВ – отрезок, заменяющий в нашей модели однородный стержень, массу которого мы полагаем пренебрежимо малой по сравнению с массой грузов  и , закрепленных на его концах. С – точка опоры всей системы. Из механики нам известно, что такая система находится в равновесии, если выполняется равенство:

                           ,

где АС и ВС – длины соответствующих отрезков.

   (Это равенство следует из равенства двух крутящих моментов, создаваемых силами тяжести данных грузов относительно точки опоры.)

Определение. Упорядоченная пара , где А – точка,  – положительное действительное число называется материальной точкой, число  при этом называется массой этой точки.

Определение. Пусть имеется отрезок АВ, концы которого являются материальными точками с массами  и  соответственно. Точка С отрезка АВ, для которой выполняется равенство

                           ,                                 (12)

где АС и ВС – длины соответствующих отрезков, называется геометрическим центром тяжести (в дальнейшем просто ГЦТ) системы из двух материальных точек.

   Из определения следует, что ГЦТ системы из двух материальных точек А и В является точка С, которая делит отрезок АВ внутренним образом в отношении

                             .                                 (13)

Теорема. (О ГЦТ системы из двух материальных точек.)

Пусть А и В две произвольные материальные точки с массами  и  соответственно и точка С – их ГЦТ. Тогда для любой точки О справедливо равенство:

                        .                            (14)

   Для доказательства достаточно подставить  в формулу (8), откуда и следует равенство (14).

   Теперь, если в пространстве точек S ввести ПДСК Охуz, то, зная координаты материальных точек А, В и их массы, можно найти координаты их ГЦТ.

Следствие. (О координатах ГЦТ системы двух материальных точек.) Пусть ,  – две произвольные материальные точки с массами  и  соответственно. Пусть точка  является их ГЦТ. Тогда

, ,         (15)

.                                                    (16)

   Доказательство. Выберем в формуле (14) в качестве точки О начало координат. Тогда формулы (15) и (16) следуют из формулы (14) в соответствии с теоремой о действиях с векторами в координатной форме.

Следствие доказано.