Деление отрезка в данном отношении. Геометрический центр тяжести системы из двух материальных точек
п.3. Деление отрезка в данном отношении.
Теорема. (О делении точки в данном отношении.)
Пусть точка С делит отрезок АВ в отношении , считая от точки А и О – произвольная точка. Тогда
. (8)
Доказательство. По определению . По правилу треугольника сложения векторов имеем:
,
. Подставляя в равенство
, получаем:
, откуда и следует (8).
Следствие 1. (О координатах точки, делящей отрезок.) Пусть ,
и
– три произвольные точки пространства, лежащие на одной прямой и точка С делит отрезок АВ в отношении
, считая от точки А. Тогда:
1),
,
. (9)
2) , (10)
Доказательство. Пусть в равенстве (8), точка О(0; 0; 0) является началом координат. Тогда векторы и
являются радиус-векторами точек А, В и С соответственно и
,
и
.
Теперь, в соответствии с теоремой о действиях с векторами в координатной форме, равенства (9) сразу же получаются из равенства (8), а каждое из равенств (10) следуют из равенств (9) после очевидных алгебраических преобразований.
Следствие доказано.
Следствие 2. Если точка С есть середина отрезка АВ, где ,
и
, то
,
,
. (11)
Доказательство очевидно, т.к. в этом случае .
Аналогичные формулы имеют место и для случая координатной плоскости.
п.4. Геометрический центр тяжести системы из двух материальных точек.
Рассмотрим модель рычажных весов, находящихся в равновесии.
рис.4.
Здесь обозначено: АВ – отрезок, заменяющий в нашей модели однородный стержень, массу которого мы полагаем пренебрежимо малой по сравнению с массой грузов и
, закрепленных на его концах. С – точка опоры всей системы. Из механики нам известно, что такая система находится в равновесии, если выполняется равенство:
,
где АС и ВС – длины соответствующих отрезков.
(Это равенство следует из равенства двух крутящих моментов, создаваемых силами тяжести данных грузов относительно точки опоры.)
Определение. Упорядоченная пара , где А – точка,
– положительное действительное число называется материальной точкой, число
при этом называется массой этой точки.
Определение. Пусть имеется отрезок АВ, концы которого являются материальными точками с массами и
соответственно. Точка С отрезка АВ, для которой выполняется равенство
, (12)
где АС и ВС – длины соответствующих отрезков, называется геометрическим центром тяжести (в дальнейшем просто ГЦТ) системы из двух материальных точек.
Из определения следует, что ГЦТ системы из двух материальных точек А и В является точка С, которая делит отрезок АВ внутренним образом в отношении
. (13)
Теорема. (О ГЦТ системы из двух материальных точек.)
Пусть А и В две произвольные материальные точки с массами и
соответственно и точка С – их ГЦТ. Тогда для любой точки О справедливо равенство:
. (14)
Для доказательства достаточно подставить в формулу (8), откуда и следует равенство (14).
Теперь, если в пространстве точек S ввести ПДСК Охуz, то, зная координаты материальных точек А, В и их массы, можно найти координаты их ГЦТ.
Следствие. (О координатах ГЦТ системы двух материальных точек.) Пусть ,
– две произвольные материальные точки с массами
и
соответственно. Пусть точка
является их ГЦТ. Тогда
,
, (15)
. (16)
Доказательство. Выберем в формуле (14) в качестве точки О начало координат. Тогда формулы (15) и (16) следуют из формулы (14) в соответствии с теоремой о действиях с векторами в координатной форме.
Следствие доказано.
Оставьте комментарий!