п.7. Деление отрезка в данном отношении.

Определение. Пусть L – произвольная прямая,  – её произвольные точки, причем . Говорят, что точка С делит отрезок АВ, считая от точки А, в отношении , если .

Замечание. Из определения следует, что точки С и В не могут совпадать, ибо в противном случае, т.е. если , то , откуда следует, что , что противоречит предположению .

   Далее, число . Действительно, если , то , откуда следует, что  и опять приходим к противоречию.

   Возможны два принципиально различных случая расположения точки С на прямой относительно отрезка АВ:

1) Точка С находится на отрезке АВ:

                     А               С             В                         L

                      |                 |               |                                  

                                          рис.16.

2) Точка С находится вне отрезка АВ (неважно справа или слева от отрезка)

                     С               В             А                          L

                      |                 |               |                                  

                                          рис.17.

Определение. Если точка С является точкой отрезка АВ, то говорят, что точка С делит отрезок внутренним образом, в противном случае говорят, что точка С делит отрезок внешним образом.

Обозначение. Если  есть отношение, в котором точка С делит отрезок АВ, считая от точки А, то будем писать:

                                          .

Теорема. (О вычислении отношения, в котором точка делит отрезок.) Отношение, в котором точка С делит отрезок АВ, считая от точки А, можно вычислить по формуле:

                                    ,                                   (9)

где знак плюс берется в случае, когда точка С делит отрезок АВ внутренним образом и знак минус в противном случае.

   Доказательство. Из определения следует, что , откуда, в свою очередь, по определению умножения вектора на число . Отсюда следует, что .

   Далее, если точка С делит отрезок АВ внутренним образом, то она лежит на отрезке АВ и , т.е. число . В противном случае  и , ч.т.д. Теорема доказана.

Теорема. (О делении отрезка точкой на числовой оси.)

Пусть  – точки координатной оси Ох и точка С делит отрезок АВ в отношении , причем, . Тогда:

1) ;                                                         (10)

2) .                                                   (11)

   Доказательство. 1) Обозначим для простоты: . По определению, . Из следствия о декартовых координатах векторов оси получаем равенство , откуда следует . Применяя теорему о вычислении декартовой координаты вектора оси, получаем , ч.т.д.

2) Достаточно выразить  из равенства (10).

Теорема доказана.

Следствие. Пусть точка С – середина отрезка АВ. Тогда

                               .                                   (12)

   Доказательство. В этом случае точка С делит отрезок АВ внутренним образом и . По формуле (9) получаем, что . Подставляя в формулу (11), получаем формулу (12), ч.т.д.

Следствие доказано.