п.1.Формула Муавра.

Теорема. (Формула Муавра, 1707 г.)

Для любого целого числа n и любого действительного числа  имеет место следующее равенство:

             .                     (1)

   Доказательство. Разобьем доказательство на 3 этапа.

1) Пусть  – натуральное число. Так как комплексное число  имеет модуль , то справедливость формулы Муавра в этом случае следует из следствия 2 теоремы об умножении комплексных чисел в тригонометрической форме записи.

2) Пусть теперь . Тогда

, ч.т.д.

3) Пусть , где  – натуральное число. Тогда по свойству целых степеней, которые справедливы в любом поле, в том числе и в поле комплексных чисел, имеем:

.

   Здесь мы использовали уже доказанные случаи формулы Муавра возведения в натуральную степень и в степень, равную (–1).

Теорема доказана.

Следствие. (О целых степенях комплексного числа.)

Пусть . Тогда

               .

Доказательство предоставляется читателю.

п.2. Деление комплексных чисел в тригонометрической форме записи.

Теорема. (О делении комплексных чисел в тригонометрической форме)

Пусть , где  и , где  – два произвольных комплексных числа записанных в тригонометрической форме. Тогда

             .                (2)

   Доказательство. Воспользуемся следствием формулы Муавра и правилом умножения комплексных чисел в тригонометрической форме записи. Получаем:

 

, ч.т.д.

Пример 1. Запишите комплексные числа  и  в тригонометрической форме и найдите их произведение  и частное .

Решение. 1) Комплексное число  на комплексной плоскости находится во второй четверти, поэтому

, .

2) Комплексное число  на комплексной плоскости находится во четвертой четверти, поэтому

, .

3)

.

Ответ: , .

Пример 2. Вычислить .

Решение. Комплексное число  на комплексной плоскости находится в третьей четверти, поэтому ,

Применим формулу Муавра:

.