Декартовые координаты вектора в ПДСК


п.5. Декартовые координаты вектора в ПДСК на плоскости и в пространстве.

Мы рассмотрим сразу общий случай координатного пространства. Координатная плоскость будет частным случаем, хотя можно все рассуждения повторить (практически дословно) и для плоскости.

   Пусть М – произвольная точка координатного пространства Охуz.

Определение. Вектор   называется радиус-вектором точки М.

Введем обозначения:

, , .

Или, для произвольного вектора :

            , , .

Определение. Проекции вектора  на координатные оси называются его декартовыми координатами.

Теорема. (О координатах точки и ее радиус-вектора.)

Координаты точки М в ПДСК в пространстве совпадают с декартовыми координатами её радиус-вектора.

   Доказательство.

    

                                          рис.9.

   По определению, координаты  точки М есть координаты точек  на координатных осях Ох, Оу, Оz соответственно, т.е. , , . Так как точки М и  лежат в плоскости перпендикулярной оси Ох, то . По аналогичной причине  и . Отсюда и следуют доказываемые равенства:

, , .

Теорема доказана.

   Заметим, что положение точки М в пространстве однозначно определяется ее координатами, т.е. существует взаимно однозначное соответствие между всеми точками пространства и упорядоченными тройками действительных чисел – их координатами. Вследствие этого, координатное пространство обозначают как декартов куб множества действительных чисел: . (Соответственно координатную плоскость как декартов квадрат множества действительных чисел: )

   Далее, очевидно, существует биекция и между всеми точками пространства и их радиус-векторами, а значит и между  радиус-векторами точек пространства и , т.е

их декартовыми координатами как упорядоченными тройками действительных чисел:

 .     (1)                   

   В силу этого взаимно однозначного соответствия принято отождествлять радиус-вектор  с упорядоченной тройкой его декартовых координат:

.

              .                               (2)

   Пусть  – произвольный вектор пространства и, отложив его от начала координат, получим . Т.к. проекции вектора на оси не зависят от выбора точки его начала, то можно записать:

               ,                 (3)

т.е. существует взаимно однозначное соответствие между всеми векторами пространства и всеми упорядоченными тройками действительных чисел, их декартовыми координатами.

   Отсюда сразу же вытекает следующая теорема.

Теорема. (О равенстве векторов.)

 Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их декартовые координаты.

Определение. Запись вектора в виде (2) или (3) называется его координатной формой записи.

Теорема. (О действиях с векторами в координатной форме.)  При сложении векторов их декартовые координаты складываются, а при умножении вектора на число каждая декартовая координата вектора умножается на это число.

   Иначе, пусть , , . Тогда: 1) ;

            2) .

   Доказательство. Сразу же следует из свойств проекции вектора на ось:

. .

Аналогично доказывается второе утверждение теоремы.

Теорема доказана.

Теорема. (О вычислении декартовых координат вектора.)

Для того, чтобы вычислить декартовые координаты вектора нужно из координат его конца вычесть координаты его начала.

   Иначе, пусть и ,  – координаты его начала и конца. Тогда

                                       (4)

   Доказательство. Пусть О(0; 0; 0) – начало координат. Тогда по правилу треугольника сложения векторов

                

                                    рис.10.

 . Векторы  и  являются радиус-векторами точек А и В соответственно и их декартовые координаты совпадают с координатами этих точек: , . Применяя теорему о действиях с векторами в координатной форме, получаем

             .

Теорема доказана.

twitter.com facebook.com vkontakte.ru odnoklassniki.ru mail.ru ya.ru blogger.com liveinternet.ru livejournal.ru google.com yandex.ru del.icio.us

Оставьте комментарий!

Яндекс.Метрика