п.2. Декартовая координата вектора оси.

   Пусть L произвольная ось и . Отложим вектор  от какой-нибудь точки . Обозначим через  конец вектора .

 

               

            В                       А                   В              L

                                                                                         

                                          рис.7.

На рис.7 совмещены два возможных случая:  и , т.к. вектор  может быть правоориентированным на оси L или левоориентированным.

Определение. Декартовой координатой вектора оси называется проекция этого вектора на эту ось.

Обозначим декартовую координату вектора  оси L через . Тогда по определению

                                       .                                    (3)

Если , то декартовую координату вектора  на оси L будем обозначать

                                       .

   Из определения декартовой координаты вектора оси сразу же вытекает следующая теорема.

Теорема. (О знаке декартовой координаты вектора оси.)

Декартовая координата вектора оси неотрицательна и равна его модулю, если вектор правоориентированный на оси. Декартовая координата вектора оси отрицательна и противоположна его модулю, если вектор левоориентированный на оси.

                   .                  (4)

Доказательство. Смотрим рисунок 7. Если вектор  – правоориентированный на оси L, то угол  и

                         .

Если же вектор  – левоориентированный на оси L, то угол  и

                        .

Теорема доказана.

Замечания 1) В дальнейшем, мы часто будем иметь дело с координатными осями Ох, Оу, Оz. В соответствии с этим декартовые координаты вектора  на этих осях мы будем обозначать соответственно  или .

2) Во многих учебниках аналитической геометрии то, что мы назвали декартовой координатой вектора оси называют величиной вектора оси и часто имеют другие обозначения. Будьте очень внимательны к обозначениям!

Следствие. (О декартовых координатах противоположных векторах оси.)

Пусть  – два противоположных друг другу вектора оси L. Тогда .

   Доказательство. Из определения противоположных векторов следует, что они имеют равные модули, и на оси противоположно ориентированы. Осталось применить теорему. (См. также формулу (4)).

Следствие доказано.