Действия с комплексными числами

Опубликовано: 9 апреля 2009.

п.3. Действия с комплексными числами в алгебраической форме записи.

   Из определения сложения пар (1) и алгебраической формы записи комплексного числа (3) следуют правила сложения и умножения комплексных чисел в алгебраической форме записи. Пусть ,  – произвольные комплексные числа. Тогда

(4)     

(5)    .

   Заметим, что этот же результат можно получить пользуясь доказанной теоремой. Множество комплексных чисел образует поле. В поле справедливы законы ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности. Рассматриваем каждое комплексное число как в замечании в конце п.2. – как результат сложения двух комплексных чисел. Тогда

.

. Здесь мы воспользовались равенством .

   Таким образом, нет нужды запоминать правила сложения (4) и особенно умножения (5). Далее, понятно, что  – нулевой элемент,  – противоположный.

   Определяем операцию вычитания, как сложение с противоположным:

.

   Примеры. 1)., , ,

,

.

2). Решить уравнение в поле комплексных чисел:

       .

Решение. Находим дискриминант . По формуле корней квадратного уравнения находим корни:

. Ответ: .

   Замечание. Здесь мы использовали равенство , откуда .

   Определим операцию деления в любом поле К как умножение на обратный элемент:  положим по определению  и  .

   Легко проверить, что ,

 (6)            .

 Действительно,

.

   Однако, нет необходимости запоминать формулу (6). Лучше использовать одно простое правило. Но для этого введем сначала одно понятие.

Определение. Комплексное число  называется комплексно сопряженным комплексному числу .

   Из определения сразу же следует, что число  является комплексно сопряженным числу , т.е. такие числа, которые отличаются друг от друга лишь знаком мнимой части являются комплексно сопряженными друг другу.

Пример:  и , i  и – i,  и т.п.

Правило деления комплексных чисел.

Для того, чтобы разделить одно комплексное число на другое, нужно числитель и знаменатель дроби умножить на число комплексно сопряженное знаменателю.

.

Примеры. ,

, , .

Замечание. Если , то комплексно сопряженное к нему число обозначается .

twitter.com facebook.com vkontakte.ru odnoklassniki.ru mail.ru ya.ru blogger.com liveinternet.ru livejournal.ru google.com yandex.ru del.icio.us

Оставьте комментарий!

Яндекс.Метрика