Действия с комплексными числами
п.3. Действия с комплексными числами в алгебраической форме записи.
Из определения сложения пар (1) и алгебраической формы записи комплексного числа (3) следуют правила сложения и умножения комплексных чисел в алгебраической форме записи. Пусть 
, 
– произвольные комплексные числа. Тогда
(4) 
(5) 
.
Заметим, что этот же результат можно получить пользуясь доказанной теоремой. Множество комплексных чисел образует поле. В поле справедливы законы ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности. Рассматриваем каждое комплексное число как в замечании в конце п.2. – как результат сложения двух комплексных чисел. Тогда
.
. Здесь мы воспользовались равенством 
.
Таким образом, нет нужды запоминать правила сложения (4) и особенно умножения (5). Далее, понятно, что 
– нулевой элемент, 
– противоположный.
Определяем операцию вычитания, как сложение с противоположным:
.
Примеры. 1).
, 
, 
,
,
.
2). Решить уравнение в поле комплексных чисел:
.
Решение. Находим дискриминант 
. По формуле корней квадратного уравнения находим корни:
. Ответ: 
.
Замечание. Здесь мы использовали равенство 
, откуда 
.
Определим операцию деления в любом поле К как умножение на обратный элемент: 
положим по определению 
и 
.
Легко проверить, что 
,
(6) 
.
Действительно, 
.
Однако, нет необходимости запоминать формулу (6). Лучше использовать одно простое правило. Но для этого введем сначала одно понятие.
Определение. Комплексное число 
называется комплексно сопряженным комплексному числу 
.
Из определения сразу же следует, что число является комплексно сопряженным числу , т.е. такие числа, которые отличаются друг от друга лишь знаком мнимой части являются комплексно сопряженными друг другу.
Пример: 
и 
, i и – i, 
и т.п.
Правило деления комплексных чисел.
Для того, чтобы разделить одно комплексное число на другое, нужно числитель и знаменатель дроби умножить на число комплексно сопряженное знаменателю.
.
Примеры. 
,
, 
, 
.
Замечание. Если 
, то комплексно сопряженное к нему число обозначается 
.
Оставьте комментарий!