п.2. Цилиндрические поверхности.

Определение. Поверхность называется цилиндрической, если она образована параллельным перемещением некоторой прямой, называемой образующей, вдоль некоторой кривой, называемой направляющей.

Пример. Возьмем в качестве направляющей окружность. Рассмотрим множество прямых параллельных друг другу и расположенных под некоторым углом к плоскости в которой лежит окружность и проходящих через каждую точку окружности.

                    

                                                рис.1.

Поверхность, изображенная на рис.1. является цилиндрической. Она может быть получена параллельным перемещением одной прямой (образующей) вдоль окружности (направляющей). Если угол наклона прямой к плоскости направляющей является прямым, то получаем поверхность, которая называется прямым круговым цилиндром.

   Не нужно думать, что образующая должна быть замкнутой кривой. Это вовсе не обязательно. См., например, следующий рисунок.

      

                                         рис.2.

   Здесь K – направляющая, L – образующая цилиндрической поверхности.

   В частности, плоскость является цилиндрической поверхностью, т.к. может быть получена параллельным перемещением прямой (образующей) вдоль другой прямой, которая служит направляющей.

Теорема. Если уравнение  является уравнением кривой на координатной плоскости Оху, то это же уравнение является уравнением цилиндрической поверхности, направляющей которой служит данная кривая, а образующей является прямая, проходящая через точку данной кривой и параллельной оси Оz.

   Доказательство. Пусть точка  лежит на кривой . Тогда . Так как это уравнение не содержит переменной z, то для любого числа  координаты точки  также удовлетворяют этому уравнению. Иначе, любое решение этого уравнения есть координаты точки, лежащей на прямой, параллельной оси Оz и проходящей через точку кривой  на плоскости Оху. Очевидно, верно и обратное.

                    

                                               рис.3.

Теорема доказана.

   Аналогично, уравнение кривой  на плоскости Охz является одновременно и уравнением цилиндрической поверхности, направляющей для которой служит данная кривая, а образующая параллельна оси ординат. Так же и уравнение  есть уравнение цилиндрической поверхности, образующая которой параллельна оси Ох.

Пример. Изобразить в ПДСК Охуz тело, лежащее в первом октанте, ограниченное координатными плоскостями, плоскостью  и прямым круговым цилиндром .

Решение.

               

                                      рис.4.