п.7. Центр вписанной в треугольник окружности.

Теорема. Пусть АВС произвольный треугольник, а, b, с длины сторон, лежащие против вершин А, В и С соответственно, М – точка пересечения его биссектрис. Тогда для любой точки О верно равенство

               .                              (24)

Доказательство.

                                          рис.7.

Пусть BN – биссектриса и М – точка пересечения биссектрис. Тогда по основному свойству биссектрисы треугольника . По свойству пропорций

, откуда  и .

СМ – биссектриса треугольника BNС, поэтому

.

   Докажем, что точка М является ГЦТ системы из трех материальных точек А, В и С с массами а, b и с соответственно.

   Действительно, , откуда по формуле (13) следует, что точка N есть ГЦТ точек А и С. Положим . Тогда  и, опять же по формуле (13) получаем, что точка М есть ГЦТ материальных точек N и В, т.е. точка М является по определению ГЦТ системы материальных точек А, В и С. Теперь, доказываемая формула (24) следует из формулы (17).

Теорема доказана.

Следствие. Пусть АВС произвольный треугольник, а, b, с длины сторон, лежащие против вершин А, В и С соответственно, М – точка пересечения его биссектрис, О – начало координат. Тогда:

, ,   .

Доказательство следует из (24) и теоремы о действиях с векторами в координатной форме.

]]> ]]>