п.14. Основные алгебраические структуры: кольцо.

Определение. Пусть А – непустое множество, на котором определены две внутренние бинарные алгебраические операции, которые мы будем называть сложением и умножением и записывать соответственно. Алгебраическая структура называется кольцом, если относительно сложения множество А является абелевой группой и выполняется закон ассоциативности умножения и оба закона дистрибутивности умножения относительно сложения.

Другими словами, алгебраическая структура называется кольцом, если выполняются следующие законы:

1 – 4. Законы абелевой группы относительно сложения;

5. Закон ассоциативности умножения:

;

6. Закон дистрибутивности умножения относительно сложения:

и .

Определение. Если в кольце А выполняется:

7. Закон коммутативности умножения

,

то кольцо А называется коммутативным кольцом.

Определение. Если в кольце А существует единичный элемент относительно умножения:

8. Закон существования единичного элемента

,

то кольцо А называется кольцом с единицей.

Замечание. Любое поле является коммутативным кольцом с единицей. Но обратное утверждение является неверным, т.к. не в каждом коммутативном кольце с единицей справедлив закон существования обратного элемента.

Пример 1. Множество целых чисел Z относительно сложения и умножения является коммутативным кольцом с единицей.

Пример 2. Множество всех многочленов от одной буквы с коэффициентами из поля K относительно операций сложения и умножения многочленов является коммутативным кольцом с единицей.

Пример 3. Множество – всех числовых функций, определенных на отрезке числовой оси относительно обычных операций сложения и умножения числовых функций является коммутативным кольцом с единицей.

Теорема. (Простейшие свойства кольца)

Пусть А – произвольное кольцо. Тогда

1. .

2. Если кольцо А обладает единицей, то

.

Доказательство один к одному повторяет доказательство аналогичных свойств поля.

п.15. Область целостности.

Определение. Пусть А – произвольное кольцо, .

Если , но , тогда элемент а называют левым делителем нуля, а элемент b – правым делителем нуля. Если А – коммутативное кольцо, то элементы а и b называются делителями нуля.

Определение. Если кольцо не имеет делителей нуля, то оно называется кольцом без делителей нуля.

Определение. Коммутативное кольцо с единицей и без делителей нуля называется областью целостности.

Пример 1. Кольцо целых чисел Z является областью целостности.

Пример 2. Кольцо многочленов над произвольным полем является областью целостности. (Смотри доказательство в Дополнение 2. Построение кольца многочленов.)

Пример 3. Кольцо функций определенных на отрезке [0; 1] является коммутативным, с единицей, но с делителями нуля. Например, положим

, .

Тогда f(x) и g(x) – ненулевые функции, определенные на отрезке [0; 1], т.е. являются элементами кольца , но их произведение, очевидно, равно нулевой функции:

,

где по определению полагают , и, очевидно, является нулем кольца.

Аналогично можно показать, что кольцо функций также имеет делители нуля и поэтому не является областью целостности.

Следствие. Любое поле является областью целостности.

Доказательство сразу же следует из простейших свойств поля и того, что любое поле является коммутативным кольцом с единицей.

Теорема. В кольце без делителей нуля выполняется закон сокращения относительно умножения.

Доказательство. Пусть А – произвольное кольцо без делителей нуля, a, b, – его произвольные элементы и выполняется равенство: . Тогда . Так как по условию и в кольце нет делителей нуля, то . Таким образом мы доказали, что если

и , то , т.е. выполняется закон сокращения справа. Аналогично доказывается закон сокращения слева. Теорема доказана.

Заметим, что в любом кольце выполняется закон сокращения относительно сложения, т.к. кольцо относительно сложения является группой, а в любой группе, как мы видели, справедлив закон сокращения.