п.13. Основные алгебраические структуры: векторные (линейные) пространства.

Определение. Пусть А и К – произвольные непустые множества. – декартово произведение этих множеств. Отображение называют внешней бинарной алгебраической операцией, определенной на множестве А над множеством К.

Другими словами, каждой паре элементов из декартова произведения ставится в соответствие единственный для этой пары элемент . (Обычно при написании результата алгебраической операции элемент пишется слева от элемента ).

Пример 1. Пусть – множество многочленов от одной переменной х с действительными коэффициентами, – поле действительных чисел. Тогда операция умножения многочлена на число является внешней алгебраической операцией на множестве многочленов: , т.е. в результате опять получается многочлен с действительными коэффициентами.

Пример 2. Пусть – множество всех векторов как направленных отрезков. Тогда умножение вектора на число есть внешняя алгебраическая операция на множестве : , так как в результате получается вектор (направленный отрезок).

Определение. Пусть - произвольное множество, элементы которого мы будем называть векторами, К - поле, элементы которого мы будем называть скалярами. Пусть на множестве определена внутренняя бинарная алгебраическая операция, которую мы будем обозначать знаком + и называть сложением векторов. Пусть также на множестве определена внешняя бинарная алгебраическая операция над полем К, которую мы будем называть умножением вектора на скаляр и обозначать знаком умножения. Другими словами определены два отображения:

;

.

Множество вместе с этими двумя алгебраическими операциями называют векторным пространством над полем К, если эти алгебраические операции подчиняются следующим законам (аксиомы векторного пространства).

1. Закон ассоциативности сложения:

.

2. Существование нулевого вектора:

.

3. Существование противоположного вектора:

.

4. Закон коммутативности сложения:

.

5. Закон ассоциативности умножения вектора на скаляр:

.

6. Закон дистрибутивности умножения вектора на скаляр относительно сложения векторов:

.

7. Закон дистрибутивности умножения вектора на скаляр относительно сложения скаляров:

.

8. , где 1 - это единица поля К.

Определение. Векторное пространство над полем вещественных чисел называется вещественным векторным пространством.

Теорема. (Простейшие свойства векторных пространств.)

1. В векторном пространстве существует единственный нулевой вектор.

2. В векторном пространстве любой вектор имеет единственный противоположный ему.

3. или х = 0.

4. .

Доказательство. Векторное пространство относительно сложения образует абелевую группу (аксиомы 1 – 4) откуда и следуют сразу же первые два утверждения теоремы.

3) а) Сначала мы докажем, что произведение нулевого скаляра на любой вектор равен нулевому вектору. Пусть . Тогда, применяя аксиомы векторного пространства, получаем:

.

Применяя закон сокращения, получаем .

б) Теперь докажем утверждение 4):

Пусть – произвольный вектор. Тогда

.

Отсюда сразу же следует, что вектор является противоположным вектору х.

в) Пусть теперь . Тогда, применяя аксиомы векторного пространства, получаем:

.

г) Пусть и допустим, что . Так как , где К – поле, то существует . Умножим равенство слева на : , откуда следует , и окончательно . Теорема доказана.

Пример. Обозначим через множество всех векторов как направленных отрезков. Мы уже знаем (см. выше примеры групп), что относительно сложения векторов множество является абелевой группой. Из школьного курса геометрии нам известна еще одна операция с векторами – умножение вектора на число, в результате которой получается тоже вектор. Значит эта операция является внешней бинарной алгебраической операцией на множестве над полем действительных чисел: . Осталось проверить все аксиомы векторного пространства, причем первые 4 нами уже проверены. Столь же легко проверяются и остальные аксиомы. Таким образом, множество всех векторов как направленных отрезков образует вещественное векторное пространство.