Группа.

Опубликовано: 4 апреля 2009.

п.11. Основные алгебраические структуры: группа.

Определение. Группой называется множество , на котором определена одна внутренняя бинарная алгебраическая операция *, которая подчиняется трем законам (аксиомы группы).

1. Закон ассоциативности: , .

2. Существование нейтрального элемента:

3. Существование симметричного элемента:

Другими словами, группой называется множество с одной ассоциативной внутренней алгебраической операцией, обладающее нейтральным элементом и симметричное относительно этой операции.

Определение. Если группа подчиняется еще одному закону:

4. Закон коммутативности: , ,

тогда группа называется коммутативной.

Замечание. Если – группа, то алгебраическая операция * называется групповой операцией.

Часто коммутативную группу называют абелевой, если ее групповая операция записана в аддитивной форме.

Примеры групп.

1. Множество целых чисел относительно сложения .

2. Множество рациональных чисел относительно сложения .

3. Множество действительных чисел относительно сложения .

4. Обозначим и – множества рациональных и действительных чисел без нулевого элемента (без нуля). Тогда оба множества относительно умножения являются коммутативными группами.

5. Обозначим через множество всех векторов как направленных отрезков. Известно, что векторы можно складывать по правилу параллелограмма (или по правилу треугольника). Эта операция – сложения векторов является внутренней бинарной алгебраической операцией, т.к. для каждой упорядоченной пары векторов определена их сумма . Легко проверяется, что сложение векторов подчиняется законам ассоциативности и коммутативности: , и . В множестве векторов существует нулевой вектор : , . Для любого вектора существует противоположный ему и утативности: я, что сложение векторов подчиняется законам ассоциативности и каддитивной формк.ающая нейтральным элементом, в : .

Таким образом, множество векторов, как направленных отрезков относительно операции сложения является абелевой группой.

Теорема. В группе выполняется закон сокращения.

Доказательство. Пусть – группа и . Пусть и е – единичный элемент группы. Тогда .

Здесь – элемент группы, симметричный элементу а. Аналогично доказывается сокращение справа. Теорема доказана.

Следствие 1. В любой группе уравнение () имеет единственное решение (), где – элемент группы, симметричный элементу а.

Доказательство. Пусть и е – единичный элемент группы. Легко проверить, что элемент является решением уравнения . Действительно, . Докажем единственность. Пусть – два решения уравнения , т.е. и . Тогда . Так как в группе справедлив закон сокращения, то из последнего равенства сразу же следует равенство . Аналогично доказывается существование и единственность второго уравнения, ч.т.д.

Следствие 2. Пусть – группа, е – единичный элемент. Если для некоторого элемента найдется элемент , такой что (или ), тогда .

Другими словами, ни один элемент группы не может иметь своего "индивидуального" нейтрального элемента.

Доказательство. Так как е – единичный элемент группы, то , откуда . Применяя закон сокращения, получаем . Аналогично доказывается второй случай. Теорема доказана.

п.12. Основные алгебраической структуры: поле.

Определение. Полем называется множество К, на котором определены две внутренние бинарные алгебраические операции (сложение и умножение) и подчиняющиеся следующим законам (аксиомы поля).

1. Закон ассоциативности относительно сложения:

2. Существование нулевого элемента:

3. Существование противоположного элемента:

4. Закон коммутативности относительно сложения:

5. Закон ассоциативности относительно умножения:

6. Существование единичного элемента:

7. Существование обратного элемента:

8. Закон коммутативности относительно умножения:

9. Закон дистрибутивности умножения относительно сложения:

и .

Другими словами, полем называется алгебраическая структура с двумя алгебраическими операциями (сложение и умножение), такая, что относительно сложения множество К является абелевой группой, а относительно умножения множество является коммутативной группой и умножение дистрибутивно относительно сложения.

Определение. Пусть К – поле. Тогда группу называют аддитивной группой поля К, а группу – мультипликативной группой поля К.

Теорема (Простейшие свойства поля)

1. .

2. .

3. Если х и у – элементы поля К, то равенство возможно лишь при или .

Доказательство. 1) Прибавим к элементу элемент х и воспользуемся аксиомами поля:

Таким образом имеем равенство . Так как поле К относительно сложения является группой, то справедлив закон сокращения и применяя его сразу получаем равенство .

2) Применяя аксиомы поля, получаем равенство:

Из этого равенства сразу же следует, что элемент является противоположным элементу х.

3) Если или , то по уже доказанному свойству верно равенство . Обратно, пусть . Допустим, что и . Тогда , т.к. – группа относительно умножения и следовательно , что противоречит предположению. Теорема доказана.