п.9. Понятие алгебраической структуры и некоторые ее замечательные элементы.

Определение. Множество А, вместе с одной или несколькими алгебраическими операциями, определенными на этом множестве называют алгебраической структурой.

Обозначение: (А, *) – алгебраическая структура с одной алгебраической операцией; – алгебраическая структура с двумя алгебраическими операциями.

Рассмотрим сначала алгебраическую структуру с одной алгебраической операцией (А, *).

Определение. Элемент называется нейтральным элементом относительно алгебраической операции *, если выполняется равенство: .

Нейтральный элемент относительно сложения называется нулевым элементом или просто нулем и обозначается соответствующей цифрой 0:

,

Нейтральный элемент относительно умножения называется единичным элементом или просто единицей и обозначается либо цифрой 1, либо буквой е:

, или .

Теорема. Пусть (А, *) – алгебраическая структура. Тогда, если в множестве А существует нейтральный элемент, то он единственный.

Доказательство. Допустим, что в множестве А имеется два нейтральных элемента: и . Тогда выполняются равенства: и . Это значит, что эти равенства выполняются и при и при : и . Отсюда следует, что , ч.т.д.

Определение. Пусть (А, *) – алгебраическая структура с нейтральным элементом е. Элемент называется симметричным элементу относительно алгебраической операции *, если .

Определение. Пусть (А, *) – алгебраическая структура с нейтральным элементом е. Если каждый элемент имеет симметричный ему , тогда говорят, что множество А симметрично относительно операции *.

Теорема. Пусть (А, *) – алгебраическая структура с нейтральным элементом е и ассоциативной алгебраической операцией *. Если элемент имеет симметричный ему элемент , то такой элемент единственный.

Доказательство. Допустим, что элемент имеет два симметричных ему: и . Тогда из определения симметричного элемента следует, что выполняются два равенства: и . Но тогда , ч.т.д.

Замечание. В алгебраической структуре с аддитивной формой записи элемент симметричный элементу х называется противоположным и обозначается (– х):

.

В алгебраической структуре с мультипликативной формой записи элемент симметричный элементу х называется обратным и обозначается :

или .

п.10. Еще одно свойство алгебраической операции и закон сокращения.

Теорема (Общее свойство любой а.о.) Пусть – алгебраическая структура и . Если и , то и .

Доказательство. Из определения равенства упорядоченных пар следует, что . Теперь из определения алгебраической операции следует, что и . Так как каждой паре элементов множества А ставится в соответствие единственный элемент множества А (результат алгебраической операции), то из равенства сразу же следует равенство . Аналогично доказывается второе равенство. Теорема доказана.

Следствие. Если на множестве А определена операция сложения (умножения), то любые два равенства можно почленно складывать (умножать), т.е. если и , то и ( и ).

Определение. Пусть – алгебраическая структура и . Говорят, что алгебраическая операция подчиняется закону сокращения слева, если из равенства следует равенство и говорят, что алгебраическая операция подчиняется закону сокращения справа, если из равенства следует равенство .

Определение. Говорят, что алгебраическая операция подчиняется закону сокращения, если она подчиняется закону сокращения как слева, так и справа.