п.1. Расстояние между точками на плоскости и в пространстве.

   Мы выведем формулу расстояния между любыми двумя точками в пространстве. Случай на плоскости будет следовать из общей формулы как частный случай.

   Рассмотрим предварительно частный случай. Пусть вектор  коллинеарный какой-нибудь координатной оси, например, Ох.

                                     рис.1. Продолжение...

п.5. Декартовые координаты вектора в ПДСК на плоскости и в пространстве.

Мы рассмотрим сразу общий случай координатного пространства. Координатная плоскость будет частным случаем, хотя можно все рассуждения повторить (практически дословно) и для плоскости.

   Пусть М – произвольная точка координатного пространства Охуz.

Определение. Вектор   называется радиус-вектором точки М. Продолжение...

п.3. Ориентация трех взаимно перпендикулярных координатных осей в пространстве.

   Пусть Ох, Оу и Оz – три взаимно перпендикулярные координатные оси в пространстве с общим началом координат в точке их пересечения О. Назовем ось Ох осью абсцисс, ось Оу – осью ординат, ось Оz – осью аппликат.

   В зависимости от выбора направлений на координатных осях возможны 8 случаев. Однако существует только два принципиально различных случая, которые мы и будем рассматривать. Продолжение...

п.1. Ориентация двух координатных осей на плоскости.

   Пусть Ох и Оу – две неколлинеарные координатные оси, точка О пересечения которых является их общим началом координат. В зависимости от выбора направлений на координатных осях возможны 4 случая.

   Рассмотрим кратчайший поворот оси Ох к оси Оу вокруг точки О до положения сонаправленности осей: . Продолжение...

п.7. Деление отрезка в данном отношении.

Определение. Пусть L – произвольная прямая,  – её произвольные точки, причем . Говорят, что точка С делит отрезок АВ, считая от точки А, в отношении , если .Продолжение...

п.6. Расстояние между двумя точками на координатной оси и замечание о его обозначении.

   Замечание . В геометрии и в школьной геометрии, в частности, принято обозначать одинаково и сам отрезок и его длину. Если имеется отрезок прямой, ограниченный точками А и В, то этот отрезок как геометрический объект обозначается АВ.

                                       рис.15. Продолжение...

п.5. Числовая ось.

Пусть дана произвольная ось. Выберем и зафиксируем на этой оси произвольную точку О, которую будем называть началом координат (точкой отсчета), а саму ось будем обозначать Ох. Пусть А произвольная (текущая) точка оси Ох.

Определение. Вектор , где О – начало координат, называется Продолжение...

п.3. Теорема Шаля.

Теорема. (М. Шаль, 1830г.)

Для любых трех точек А, В, С оси L справедливо равенство:

                       ,                        (5)

где – декартовые координаты векторов  оси L соответственно.

   Доказательство. 1) Рассмотрим сначала случай, когда точка С находится на отрезке АВ:

                                         рис.8.Продолжение...

п.2. Декартовая координата вектора оси.

   Пусть L произвольная ось и . Отложим вектор  от какой-нибудь точки . Обозначим через  конец вектора . Продолжение...

п.1. Угол между векторами. Угол между вектором и осью.

Определение. Углом между двумя векторами, отложенными от одной точки, называется кратчайший угол, на который нужно повернуть один из векторов вокруг своего начала до положения сонаправленности с другим вектором.Продолжение...

п.9. Умножение вектора на число.

Определение. Произведением вектора  на действительное число  называется вектор , удовлетворяющий следующим двум условиям:

1) ;

2) , если  и , если ;

и обозначается .Продолжение...

п.8. Свойства сложения векторов.

1. Сложение векторов подчиняется закону ассоциативности, т.е.  верно равенство:

                                       (1)

Доказательство. Воспользуемся правилом треугольникаПродолжение...

п.6. Равенство векторов.

Определение. Два вектора называются равными, если они сонаправленные и имеют равные модули.

   Иначе, .

Равные векторы можно обозначать одной буквой (с чертой или со стрелкой): . Продолжение...

п.5. Ориентация вектора, лежащего на оси. Сонаправленные и противоположно направленные векторы.

   Пусть L произвольная ось и вектор , лежит на оси L. Может быть два случая, см. рисунки 3 и 4: Продолжение...

п.3. Отношение порядка следования на множестве.

   Пусть М произвольное конечное множество, т.е. состоящее из конечного числа элементов. Допустим, что мы хотим выписать все его элементы. Какой элемент выписать первым? Какой – вторым? И так далее. Ясно, что если число элементов данного множества больше одного, то это можно сделать различными способами. Продолжение...

п.1. Функция расстояния.

   Буквой L будем обозначать прямую, буквой Р – плоскость, S – пространство. Полагаем, что прямая, плоскость и пространство состоит из точек, т.е. L, P и S являются множествами, элементами которых являются точки. Продолжение...

п.7. Решение квадратных уравнений в поле комплексных чисел.

   Вывод формулы корней квадратного уравнения в поле комплексных чисел ничем не отличается от такового в поле действительных чисел (как, впрочем, и в любом поле, в том числе и в конечном). Вспомним этот вывод.

Теорема. Пусть , z – комплексная переменная. Продолжение...