п.4. Линейные операции с векторами в координатной форме записи.

   Пусть – базис пространства  и  – два его произвольных вектора. Пусть  и  – запись этих векторов в координатной форме. Пусть, далее, – произвольное действительное число. В этих обозначениях имеет место следующая теорема.

Теорема. (О линейных операциях с векторами в координатной форме.)

1) ; Продолжение...

п.3. Размерность векторного пространства.

Определение. Число векторов в базисе векторного пространства называется его размерностью.

Обозначение: – размерность векторного пространства V.

Таким образом, в соответствие с этим и предыдущими определениями, имеем:

1) – векторное пространство векторов прямой L.

– базис , ,  ,  – разложение вектора  по базису ,  Продолжение...

1) Существует взаимно однозначное соответствие между множеством векторов векторного пространства   и множеством действительных чисел R.

2) Существует взаимно однозначное соответствие между множеством векторов векторного пространства   и декартовым квадратом  множества действительных чисел R.

3) Существует взаимно однозначное соответствие между множеством векторов векторного пространства   и декартовым кубом  множества действительных чисел R.

   Доказательство. Продолжение...

п.2. Разложение вектора по базису.

Определение. Пусть  – произвольный вектор,  – произвольная система векторов. Если выполняется равенство

                   ,                       (1)

то говорят, что вектор  представлен в виде линейной комбинации данной системы векторов. Если данная система векторов  является базисом векторного пространства, то равенство (1) называется разложением вектора  по базису . Продолжение...

п.1. Базис на прямой, на плоскости и в пространстве.

Определение. Любое конечное множество векторов  называется системой векторов.

Определение. Выражение , где  называется линейной комбинацией системы векторов , а числа  называются коэффициентами этой линейной комбинации. Продолжение...

п.7. Исторический экскурс к вопросу о построении правильного многоугольника с помощью циркуля и линейки.

   Геометрические задачи на построение с помощью циркуля и линейки зародились еще в древней Греции во времена Евклида и Платона. Еще в те времена, математики умели строить с помощью циркуля и линейки правильные треугольники, пятиугольники и квадраты.

   Более того, они умели с помощью циркуля и линейки делить угол пополам, поэтому они умели строить и Продолжение...

п.6. Многочлен деления круга.

Определение. Многочлен

называется многочленом деления круга.

Теорема. Все корни многочлена

являются корнями -й степени из 1.

   Доказательство. Рассмотрим многочлен деления круга как сумму членов геометрической прогрессии со знаменателем х. Тогда

              .

Теорема доказана.

   Так как корни из 1 делят единичную окружность на n равных дуг, то из теоремы следует, что все корни Продолжение...

п.4. Расположение корней на комплексной плоскости.

Перепишем формулу (3) в виде

, где , .

Заметим, что

                    .                        (5)

   Из этой формулы мы видим, что аргументы корней образуют арифметическую прогрессию.

   Так как модуль у всех корней одинаковый, то на Продолжение...

п.3. Корни из комплексных чисел.

Определение. Пусть  и . Корнем n-й степени из комплексного числа z называется комплексное число , такое, что .

Теорема. (Формула корней из комплексного числа.)

Для любого ненулевого комплексного числа

, где , существует ровно n корней n-й степени из комплексного числа z и все они могут быть найдены по формуле

                 ,                (3)Продолжение...

п.1.Формула Муавра.

Теорема. (Формула Муавра, 1707 г.)

Для любого целого числа n и любого действительного числа  имеет место следующее равенство:

             .                     (1) Продолжение...

п.5. Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме записи. Свойства модуля комплексных чисел.

Теорема. (Об умножении комплексных чисел в тригонометрической форме записи.)

 Пусть , где  и , где  – два произвольных комплексных числа записанных в тригонометрической форме. Тогда

.                 (13)

   Продолжение...

п.4. Тригонометрическая форма записи комплексного числа.

   Если точка z комплексной плоскости имеет декартовые координаты (х, у), т.е.  и полярные , то они связаны соотношением (1):

                             .

По определению,  и из (1) получаем:

                             .                                   (9)

Подставляя в алгебраическую форму записи числа z получаем: .Продолжение...

п.3. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Комплексная плоскость.

Пусть на плоскости введена ПДСК, тогда каждую точку плоскости можно отождествить с упорядоченной парой действительных чисел, которые являются ее координатами:  или просто .

   С другой стороны, каждое комплексное число  можно также отождествить с упорядоченной парой действительных чисел , Продолжение...

п.1. Полярная система координат на плоскости.

Возьмем на данной плоскости произвольную точку О и назовем её полюсом. Проведем на данной плоскости из точки О направленный луч, который назовем полярным лучом. Пусть М – произвольная точка данной плоскости. Соединим точку М с полюсом отрезком прямой и назовем этот отрезок ОМ и его длину  полярным радиусом точки М. Угол поворота  полярного луча вокруг полюса против часовой стрелки до совпадения с полярным радиусом точки М назовем полярным углом точки М. Продолжение...

п.7. Центр вписанной в треугольник окружности.

Теорема. Пусть АВС произвольный треугольник, а, b, с длины сторон, лежащие против вершин А, В и С соответственно, М – точка пересечения его биссектрис. Тогда для любой точки О верно равенство

               .                              (24)Продолжение...

п.5. ГЦТ системы из трех и более  материальных точек.

Пусть А, В, С – система из трех материальных точек с массами ,  и  соответственно. Заменим в этой системе две материальные точки, например, А и В материальной точкой D с массой , которая является их ГЦТ. Координаты точки D можно найти по формулам (15) и (16). Теперь у нас осталась система из двух материальных точек D и С с массами  и  соответственно. Продолжение...

п.3. Деление отрезка в данном отношении.

Теорема. (О делении точки в данном отношении.)

Пусть точка С делит отрезок АВ в отношении , считая от точки А и О – произвольная точка. Тогда

                        .                                        (8)

Доказательство. По определению . По правилу треугольника сложения векторов имеем: , . Подставляя в равенство , получаем: , откуда и следует (8).

Теорема доказана.Продолжение...