Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Опубликовано: 21 июня 2009.

п.2. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.

   Этот вопрос уже обсуждался в предыдущей лекции, когда оба уравнения данных прямых записывались в каноническом или параметрическом виде. Пусть сейчас оба уравнения прямых записаны в общем виде.

Теорема. Пусть

    и

– общие уравнения двух прямых на координатной плоскости Оху. ТогдаПродолжение...

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Опубликовано: 20 июня 2009.

п.1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Пусть дана прямая L на координатной плоскости Оху.

Определение. Углом наклона прямой к оси абсцисс называется угол поворота оси абсцисс вокруг любой ее точки против часовой стрелки до положения параллельности (или совпадения) с данной прямой.

 

                                              рис.1.Продолжение...

Уравнение плоскости в отрезках. Неполные уравнения плоскости.

п.5. Уравнение плоскости в отрезках. Неполные уравнения плоскости.

Исследование общего уравнения плоскости

                              ,                              (7)

где  – координаты ее нормального вектора, производится аналогично исследованию общего уравнения прямой на плоскости. Приведем ниже все случаи.Продолжение...

Неполные уравнения прямой на плоскости

п.3. Уравнение прямой в отрезках.

   Пусть ни один из коэффициентов А, В, С общего уравнения прямой

                              ,

 не равен нулю. Перенесем свободный член С в правую часть уравнения и разделим обе части уравнения на (– С):

                                .

Обозначим . Тогда последнее уравнение можно записать в виде:

                                            .                                 (8)Продолжение...

Уравнения плоскости и прямой на плоскости

п.1. Векторное уравнение плоскости и прямой на плоскости.

Определение. Любой ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости (прямой на плоскости) называется нормальным вектором этой плоскости (прямой на плоскости).

Теорема. Пусть  – радиус-вектор текущей точки М плоскости (прямой на плоскости),  – радиус- вектор какой-нибудь фиксированной точки  плоскости (прямой на плоскости),  – нормальный вектор плоскости (прямой на плоскости). Тогда уравнение

                                                                        (1)Продолжение...

Решение задач на прямую в пространстве и на плоскости

Опубликовано: 16 июня 2009.

п.4. Решение некоторых задач аналитической геометрии на прямую в пространстве и на плоскости.

Задача 1. Найти уравнение прямой, проходящей через две различные точки  и .

   Решение. Вектор

                      ,

очевидно, является направляющим вектором прямой, которая проходит через эти точки. В уравнениях (8)  есть координаты произвольной фиксированной точки данной прямой, поэтому в качестве такой точки можно взять точку  или , без разницы которую.Продолжение...

Параметрические и канонические уравнения прямой

Опубликовано: 15 июня 2009.

п.3. Параметрические и канонические уравнения прямой.

Определение. Любой ненулевой вектор, коллинеарный данной прямой называется ее направляющим вектором.

   Пусть L – произвольная прямая и  – ее произвольная, но фиксированная точка, О – начало координат,  – произвольная (текущая) точка прямой L,  – радиус вектор точки ,  – радиус вектор текущей точки М,  – произвольный направляющий вектор прямой L.

          

                                        рис.5.Продолжение...

Цилиндрические поверхности

Опубликовано: 14 июня 2009.

п.2. Цилиндрические поверхности.

Определение. Поверхность называется цилиндрической, если она образована параллельным перемещением некоторой прямой, называемой образующей, вдоль некоторой кривой, называемой направляющей.

Пример. Возьмем в качестве направляющей окружность. Рассмотрим множество прямых параллельных друг другу и расположенных под некоторым углом к плоскости в которой лежит окружность и проходящих через каждую точку окружности.

                    

                                                рис.1.Продолжение...

Уравнение линии и поверхности 2

Опубликовано: 13 июня 2009.

   Второй подход при изучении линий и поверхностей заключается в том, что изначально мы имеем некоторую линию или поверхность, которая задаются каким либо своим геометрическим свойством. Очень часто линия или поверхность определяется как множество точек координатной плоскости или координатного пространства, удовлетворяющих каким-либо условиям. Такое множество точек называется геометрическим местом точек (сокращенно ГМТ). Задача заключается в том, чтобы описать это ГМТ с помощью уравнения или системы уравнений с параметром или без такового.Продолжение...

Уравнение линии и поверхности 1

Опубликовано: 12 июня 2009.

п.1. Понятие об уравнении линии и поверхности.

   С теоретико-множественной точки зрения, любая линия или поверхность есть множество точек. Каждое такое множество может обладать некоторыми свойствами. Математики с древних времен пытались отыскать такие свойства, которые полностью определяли бы такие интуитивно понятные объекты как прямая, кривая, поверхность. Эта задача была окончательно решена лишь в двадцатом веке, когда было введено понятие размерности множества. Популярно об этом можно прочитать в замечательной книжке Виленкина Н.Я. "Рассказы о множествах."Продолжение...

Приложение

п.6. Некоторые приложения векторной алгебры.

  Допустим, что нам дана геометрическая фигура (многоугольник, призма, пирамида) и известны координаты ее вершин. Тогда мы с помощью векторной алгебры можем находить длины сторон (ребер), углы между ними, площади многоугольников, граней призмы или пирамиды, объемы.

1) Длина стороны (ребра) АВ.

   Пусть , . Тогда

,

где . Продолжение...

Произведения векторов в координатной форме

п.5. Смешанное и векторное произведения векторов в координатной форме.

Теорема. Пусть , , . Тогда:

1) ;

2) .

   Доказательство. 1) Используем свойство линейности векторного произведения: Продолжение...

Смешанное произведение (продолжение)

Теорема. (Свойство линейности смешанного произведения.) Для любых векторов и  справедливы следующие равенства:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) .

Иначе можно сказать, что смешанное произведение линейно по каждому своему аргументу.

   Мы рассматриваем смешанное произведение как числовую функцию трех аргументов. Продолжение...

Смешанное произведение векторов

п.4. Смешанное произведение векторов.

Определение. Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов  называется скалярное произведение первого вектора на векторное произведение второго вектора на третий и обозначается

                                .

Теорема. (Геометрический смысл смешанного произведения.)

1) Модуль смешанного произведения трех векторов численно равен объему параллелепипеда, построенного на трех данных векторах, как на его ребрах: Продолжение...

Физический смысл скалярного произведения векторов. Векторное произведение векторов

п.2. Физический смысл скалярного произведения векторов. Работа постоянной силы.

   Пусть материальная точка перемещается под действием постоянной силы  вдоль вектора перемещения .

                   

                                   рис.1.

   На рисунке 1 сила  разложена на две ортогональные составляющие  и , причем, из физики нам известно, что работа при перемещении материальной точки вдоль вектора  создается составляющей  и равна .

   С другой стороны, , откуда получаем:

                           .

п.3. Векторное произведение векторов.

Определение. Векторным произведением вектора  на вектор  называется третий вектор , который удовлетворяет следующим трем условиям: Продолжение...

Скалярное произведение

п.1. Скалярное произведение векторов.

Определение. Скалярным произведением двух векторов называется произведение их модулей на косинус угла между ними.

Обозначение: .

Теорема. (Свойства скалярного произведения.)

1). Скалярное произведение подчиняется закону коммутативности:

                         , .

2). Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов нулевой или векторы ортогональны: Продолжение...

Основная теорема векторной алгебры.


п.6. Основная теорема векторной алгебры.

   Вспомним, что  ортом оси L называется единичный вектор, сонаправленный с ней.

   Пусть Охуz – ПДСК и векторы  – орты осей Ох, Оу и Оz соответственно. Тогда упорядоченная тройка векторов  является ортонормированным базисом пространства векторов  и любой вектор  может быть разложен по этому базису: . Здесь, упорядоченную тройку действительных чисел  мы назвали координатами вектора  относительно базиса . Продолжение...

Яндекс.Метрика