п.1. Скалярное произведение векторов.

Определение. Скалярным произведением двух векторов называется произведение их модулей на косинус угла между ними.

Обозначение: .

Теорема. (Свойства скалярного произведения.)

1). Скалярное произведение подчиняется закону коммутативности:

                         , .

2). Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов нулевой или векторы ортогональны: Продолжение...

п.2. Физический смысл скалярного произведения векторов. Работа постоянной силы.

   Пусть материальная точка перемещается под действием постоянной силы  вдоль вектора перемещения .

                                   рис.1.

   На рисунке 1 сила  разложена на две ортогональные составляющие  и , причем, из физики нам известно, что работа при перемещении материальной точки вдоль вектора  создается составляющей  и равна .

   С другой стороны, , откуда получаем:

                           .

п.3. Векторное произведение векторов.

Определение. Векторным произведением вектора  на вектор  называется третий вектор , который удовлетворяет следующим трем условиям: Продолжение...

п.4. Смешанное произведение векторов.

Определение. Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов  называется скалярное произведение первого вектора на векторное произведение второго вектора на третий и обозначается

                                .

Теорема. (Геометрический смысл смешанного произведения.)

1) Модуль смешанного произведения трех векторов численно равен объему параллелепипеда, построенного на трех данных векторах, как на его ребрах: Продолжение...

Теорема. (Свойство линейности смешанного произведения.) Для любых векторов и  справедливы следующие равенства:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) .

Иначе можно сказать, что смешанное произведение линейно по каждому своему аргументу.

   Мы рассматриваем смешанное произведение как числовую функцию трех аргументов. Продолжение...

п.5. Смешанное и векторное произведения векторов в координатной форме.

Теорема. Пусть , , . Тогда:

1) ;

2) .

   Доказательство. 1) Используем свойство линейности векторного произведения: Продолжение...

п.6. Некоторые приложения векторной алгебры.

  Допустим, что нам дана геометрическая фигура (многоугольник, призма, пирамида) и известны координаты ее вершин. Тогда мы с помощью векторной алгебры можем находить длины сторон (ребер), углы между ними, площади многоугольников, граней призмы или пирамиды, объемы.

1) Длина стороны (ребра) АВ.

   Пусть , . Тогда

,

где . Продолжение...