Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов
Подписаться на эту рубрику по RSS
Скалярное произведение
п.1. Скалярное произведение векторов.
Определение. Скалярным произведением двух векторов называется произведение их модулей на косинус угла между ними.
Обозначение: .
Теорема. (Свойства скалярного произведения.)
1). Скалярное произведение подчиняется закону коммутативности:
,
.
2). Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов нулевой или векторы ортогональны: Продолжение...
Физический смысл скалярного произведения векторов. Векторное произведение векторов
п.2. Физический смысл скалярного произведения векторов. Работа постоянной силы.
Пусть материальная точка перемещается под действием постоянной силы вдоль вектора перемещения
.
рис.1.
На рисунке 1 сила разложена на две ортогональные составляющие
и
, причем, из физики нам известно, что работа при перемещении материальной точки вдоль вектора
создается составляющей
и равна
.
С другой стороны, , откуда получаем:
.
п.3. Векторное произведение векторов.
Определение. Векторным произведением вектора на вектор
называется третий вектор
, который удовлетворяет следующим трем условиям: Продолжение...
Смешанное произведение векторов
п.4. Смешанное произведение векторов.
Определение. Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов называется скалярное произведение первого вектора на векторное произведение второго вектора на третий и обозначается
.
Теорема. (Геометрический смысл смешанного произведения.)
1) Модуль смешанного произведения трех векторов численно равен объему параллелепипеда, построенного на трех данных векторах, как на его ребрах: Продолжение...
Смешанное произведение (продолжение)
Теорема. (Свойство линейности смешанного произведения.) Для любых векторов и справедливы следующие равенства:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) .
Иначе можно сказать, что смешанное произведение линейно по каждому своему аргументу.
Мы рассматриваем смешанное произведение как числовую функцию трех аргументов. Продолжение...
Произведения векторов в координатной форме
п.5. Смешанное и векторное произведения векторов в координатной форме.
Теорема. Пусть ,
,
. Тогда:
1) ;
2) .
Доказательство. 1) Используем свойство линейности векторного произведения: Продолжение...
Приложение
п.6. Некоторые приложения векторной алгебры.
Допустим, что нам дана геометрическая фигура (многоугольник, призма, пирамида) и известны координаты ее вершин. Тогда мы с помощью векторной алгебры можем находить длины сторон (ребер), углы между ними, площади многоугольников, граней призмы или пирамиды, объемы.
1) Длина стороны (ребра) АВ.
Пусть ,
. Тогда
,
где . Продолжение...