п.1. Расстояние между точками на плоскости и в пространстве.

   Мы выведем формулу расстояния между любыми двумя точками в пространстве. Случай на плоскости будет следовать из общей формулы как частный случай.

   Рассмотрим предварительно частный случай. Пусть вектор  коллинеарный какой-нибудь координатной оси, например, Ох.

                                     рис.1. Продолжение...

п.3. Деление отрезка в данном отношении.

Теорема. (О делении точки в данном отношении.)

Пусть точка С делит отрезок АВ в отношении , считая от точки А и О – произвольная точка. Тогда

                        .                                        (8)

Доказательство. По определению . По правилу треугольника сложения векторов имеем: , . Подставляя в равенство , получаем: , откуда и следует (8).

Теорема доказана.Продолжение...

п.5. ГЦТ системы из трех и более  материальных точек.

Пусть А, В, С – система из трех материальных точек с массами ,  и  соответственно. Заменим в этой системе две материальные точки, например, А и В материальной точкой D с массой , которая является их ГЦТ. Координаты точки D можно найти по формулам (15) и (16). Теперь у нас осталась система из двух материальных точек D и С с массами  и  соответственно. Продолжение...

п.7. Центр вписанной в треугольник окружности.

Теорема. Пусть АВС произвольный треугольник, а, b, с длины сторон, лежащие против вершин А, В и С соответственно, М – точка пересечения его биссектрис. Тогда для любой точки О верно равенство

               .                              (24)Продолжение...