Формула Муавра. Корни из комплексных чисел
Подписаться на эту рубрику по RSS
Деление комплексных чисел в тригонометрической форме записи
п.1.Формула Муавра.
Теорема. (Формула Муавра, 1707 г.)
Для любого целого числа n и любого действительного числа имеет место следующее равенство:
. (1) Продолжение...
Корни комплексных чисел
п.3. Корни из комплексных чисел.
Определение. Пусть и
. Корнем n-й степени из комплексного числа z называется комплексное число
, такое, что
.
Теорема. (Формула корней из комплексного числа.)
Для любого ненулевого комплексного числа
, где
, существует ровно n корней n-й степени из комплексного числа z и все они могут быть найдены по формуле
, (3)Продолжение...
Расположение корней на комплексной плоскости. Корни из единицы
п.4. Расположение корней на комплексной плоскости.
Перепишем формулу (3) в виде
, где
,
.
Заметим, что
. (5)
Из этой формулы мы видим, что аргументы корней образуют арифметическую прогрессию.
Так как модуль у всех корней одинаковый, то на Продолжение...
Многочлен деления круга
п.6. Многочлен деления круга.
Определение. Многочлен
называется многочленом деления круга.
Теорема. Все корни многочлена
являются корнями -й степени из 1.
Доказательство. Рассмотрим многочлен деления круга как сумму членов геометрической прогрессии со знаменателем х. Тогда
.
Теорема доказана.
Так как корни из 1 делят единичную окружность на n равных дуг, то из теоремы следует, что все корни Продолжение...
Построение правильного многоугольника с помощью циркуля и линейки
п.7. Исторический экскурс к вопросу о построении правильного многоугольника с помощью циркуля и линейки.
Геометрические задачи на построение с помощью циркуля и линейки зародились еще в древней Греции во времена Евклида и Платона. Еще в те времена, математики умели строить с помощью циркуля и линейки правильные треугольники, пятиугольники и квадраты.
Более того, они умели с помощью циркуля и линейки делить угол пополам, поэтому они умели строить и Продолжение...