Формула Муавра. Корни из комплексных чисел

Подписаться на эту рубрику по RSS

Деление комплексных чисел в тригонометрической форме записи

Опубликовано: 6 мая 2009.

п.1.Формула Муавра.

Теорема. (Формула Муавра, 1707 г.)

Для любого целого числа n и любого действительного числа  имеет место следующее равенство:

             .                     (1) Продолжение...

Корни комплексных чисел

Опубликовано: 7 мая 2009.

п.3. Корни из комплексных чисел.

Определение. Пусть  и . Корнем n-й степени из комплексного числа z называется комплексное число , такое, что .

Теорема. (Формула корней из комплексного числа.)

Для любого ненулевого комплексного числа

, где , существует ровно n корней n-й степени из комплексного числа z и все они могут быть найдены по формуле

                 ,                (3)Продолжение...

Расположение корней на комплексной плоскости. Корни из единицы

Опубликовано: 8 мая 2009.

п.4. Расположение корней на комплексной плоскости.

Перепишем формулу (3) в виде

, где , .

Заметим, что

                    .                        (5)

   Из этой формулы мы видим, что аргументы корней образуют арифметическую прогрессию.

   Так как модуль у всех корней одинаковый, то на Продолжение...

Многочлен деления круга

Опубликовано: 9 мая 2009.

п.6. Многочлен деления круга.

Определение. Многочлен

                       

называется многочленом деления круга.

Теорема. Все корни многочлена

                       

являются корнями степени из 1.

   Доказательство. Рассмотрим многочлен деления круга как сумму членов геометрической прогрессии со знаменателем х. Тогда

              .

Теорема доказана.

   Так как корни из 1 делят единичную окружность на n равных дуг, то из теоремы следует, что все корни Продолжение...

Построение правильного многоугольника с помощью циркуля и линейки

Опубликовано: 10 мая 2009.

п.7. Исторический экскурс к вопросу о построении правильного многоугольника с помощью циркуля и линейки.

   Геометрические задачи на построение с помощью циркуля и линейки зародились еще в древней Греции во времена Евклида и Платона. Еще в те времена, математики умели строить с помощью циркуля и линейки правильные треугольники, пятиугольники и квадраты.

   Более того, они умели с помощью циркуля и линейки делить угол пополам, поэтому они умели строить и Продолжение...

Яндекс.Метрика