п.1. Базис на прямой, на плоскости и в пространстве.

Определение. Любое конечное множество векторов  называется системой векторов.

Определение. Выражение , где  называется линейной комбинацией системы векторов , а числа  называются коэффициентами этой линейной комбинации. Продолжение...

п.2. Разложение вектора по базису.

Определение. Пусть  – произвольный вектор,  – произвольная система векторов. Если выполняется равенство

                   ,                       (1)

то говорят, что вектор  представлен в виде линейной комбинации данной системы векторов. Если данная система векторов  является базисом векторного пространства, то равенство (1) называется разложением вектора  по базису . Продолжение...

1) Существует взаимно однозначное соответствие между множеством векторов векторного пространства   и множеством действительных чисел R.

2) Существует взаимно однозначное соответствие между множеством векторов векторного пространства   и декартовым квадратом  множества действительных чисел R.

3) Существует взаимно однозначное соответствие между множеством векторов векторного пространства   и декартовым кубом  множества действительных чисел R.

   Доказательство. Продолжение...

п.3. Размерность векторного пространства.

Определение. Число векторов в базисе векторного пространства называется его размерностью.

Обозначение: – размерность векторного пространства V.

Таким образом, в соответствие с этим и предыдущими определениями, имеем:

1) – векторное пространство векторов прямой L.

– базис , ,  ,  – разложение вектора  по базису ,  Продолжение...

п.4. Линейные операции с векторами в координатной форме записи.

   Пусть – базис пространства  и  – два его произвольных вектора. Пусть  и  – запись этих векторов в координатной форме. Пусть, далее, – произвольное действительное число. В этих обозначениях имеет место следующая теорема.

Теорема. (О линейных операциях с векторами в координатной форме.)

1) ; Продолжение...

п.6. Основная теорема векторной алгебры.

   Вспомним, что  ортом оси L называется единичный вектор, сонаправленный с ней.

   Пусть Охуz – ПДСК и векторы  – орты осей Ох, Оу и Оz соответственно. Тогда упорядоченная тройка векторов  является ортонормированным базисом пространства векторов  и любой вектор  может быть разложен по этому базису: . Здесь, упорядоченную тройку действительных чисел  мы назвали координатами вектора  относительно базиса . Продолжение...