Базис векторного пространства и разложение вектора по базису
Подписаться на эту рубрику по RSS
Базис
Разложение вектора по базису
п.2. Разложение вектора по базису.
Определение. Пусть – произвольный вектор,
– произвольная система векторов. Если выполняется равенство
, (1)
то говорят, что вектор представлен в виде линейной комбинации данной системы векторов. Если данная система векторов
является базисом векторного пространства, то равенство (1) называется разложением вектора
по базису
. Продолжение...
Разложение по базису (продолжение)
1) Существует взаимно однозначное соответствие между множеством векторов векторного пространства и множеством действительных чисел R.
2) Существует взаимно однозначное соответствие между множеством векторов векторного пространства и декартовым квадратом
множества действительных чисел R.
3) Существует взаимно однозначное соответствие между множеством векторов векторного пространства и декартовым кубом
множества действительных чисел R.
Доказательство. Продолжение...
Размерность векторного пространства
п.3. Размерность векторного пространства.
Определение. Число векторов в базисе векторного пространства называется его размерностью.
Обозначение: – размерность векторного пространства V.
Таким образом, в соответствие с этим и предыдущими определениями, имеем:
1) – векторное пространство векторов прямой L.
– базис
,
,
,
– разложение вектора
по базису
, Продолжение...
Линейные операции с векторами. Ортогональные векторы. Ортонормированный базис.
п.4. Линейные операции с векторами в координатной форме записи.
Пусть – базис пространства
и
– два его произвольных вектора. Пусть
и
– запись этих векторов в координатной форме. Пусть, далее,
– произвольное действительное число. В этих обозначениях имеет место следующая теорема.
Теорема. (О линейных операциях с векторами в координатной форме.)
1) ; Продолжение...
Основная теорема векторной алгебры.
п.6. Основная теорема векторной алгебры.
Вспомним, что ортом оси L называется единичный вектор, сонаправленный с ней.
Пусть Охуz – ПДСК и векторы – орты осей Ох, Оу и Оz соответственно. Тогда упорядоченная тройка векторов
является ортонормированным базисом пространства векторов
и любой вектор
может быть разложен по этому базису:
. Здесь, упорядоченную тройку действительных чисел
мы назвали координатами вектора
относительно базиса
. Продолжение...