п.1. Отображение множеств.

Определение. Пусть А и В – произвольные множества. Отображением множества А в множество В называют правило (соответствие), которое каждому элементу множества А ставит в соответствие единственный для этого элемента элемент множества В.

Обозначение. . Здесь, – имя (наименование) отображения. Если – элемент множества А, то элемент множества В, который ставится ему в соответствие при этом отображении обозначают и пишут . Элемент называют значением отображения "в точке а" или образом элемента а. При этом сам элемент а называют прообразом элемента .Продолжение...

п.5. Понятие алгебраической операции.

Определение. Пусть А - произвольное множество, - его декартов квадрат. Внутренней бинарной алгебраической операцией на множестве А называют отображение .

Другими словами, говорят, что на множестве А задана алгебраическая операция, если каждой упорядоченной паре (х, у) элементов х и у множества А поставлено в соответствие, по некоторому правилу, единственный для этой пары элемент . Говорят, что этот элемент есть результат алгебраической операции, примененной к паре (х, у) и этот элемент (результат операции) записывается специальным образом.Продолжение...

п.9. Понятие алгебраической структуры и некоторые ее замечательные элементы.

Определение. Множество А, вместе с одной или несколькими алгебраическими операциями, определенными на этом множестве называют алгебраической структурой.

Обозначение: (А, *) – алгебраическая структура с одной алгебраической операцией; – алгебраическая структура с двумя алгебраическими операциями.

Рассмотрим сначала алгебраическую структуру с одной алгебраической операцией (А, *).Продолжение...

п.11. Основные алгебраические структуры: группа.

Определение. Группой называется множество , на котором определена одна внутренняя бинарная алгебраическая операция *, которая подчиняется трем законам (аксиомы группы).

1. Закон ассоциативности: , .

2. Существование нейтрального элемента:

3. Существование симметричного элемента:

.

Другими словами, группой называется множество с одной ассоциативной внутренней алгебраической операцией, обладающее нейтральным элементом и симметричное относительно этой операции.Продолжение...

п.13. Основные алгебраические структуры: векторные (линейные) пространства.

Определение. Пусть А и К – произвольные непустые множества. – декартово произведение этих множеств. Отображение называют внешней бинарной алгебраической операцией, определенной на множестве А над множеством К.Продолжение...

п.14. Основные алгебраические структуры: кольцо.

Определение. Пусть А – непустое множество, на котором определены две внутренние бинарные алгебраические операции, которые мы будем называть сложением и умножением и записывать соответственно. Алгебраическая структура называется кольцом, если относительно сложения множество А является абелевой группой и выполняется закон ассоциативности умножения и оба закона дистрибутивности умножения относительно сложения.Продолжение...